我們生活的這個世界中，一刻也不停的變化著。數學家想辦法用數學，來描述這個世界。剛開始只能用離散數學描述，如1、2、3 等等。但這個世界的變化並非離散，而是連續的。比如說一位重考的考生，去年考59分，今年進步到60分。在59和60之間，既不是59分，也不是60分，而是處於一個空無的狀態，直到他考了60分，才又賦予一個狀態，這就是離散。然而，這孩子每天都在以肉眼看不見的幅度在長大，上次見到他時129公分，這次見到他已經130公分了。在129和130之間，還可以再細分129.1、129.2等等，所有狀態，孩子也都經歷過，這就是連續。
在測量的當下可知身高，那未測量的每個時刻又是多少呢？對於連續狀態的變化，多數人是實用主義者，就取個近似值就可以啦！要嘛大概129公分，又或者130公分，對於細微處沒有損害也從擔憂。
數學家下班後，哲學家望著不停變化的世界，提出耐人尋味的哲學觀點。
有一個人欠債不還，說我每天都在變化，已經不是原來借錢那個人了，債主大怒打了他。到了法庭上，債主道我已經不是原來打人那個人了。在另一極端，芝諾：一支射出去的箭矢，在一個瞬間佔據一定的位置，是靜止的。在任何一個瞬間，箭矢也是靜止的，既然時間由所有的瞬間組成，那箭矢在所有的時間都是靜止的。
被哲學家這樣一搞，數學家忍不住從床上跳起來加班。
首先時間(T)和瞬間(t)定義待解決。直觀的定義，任何一段時間(例如1秒)等於無限多瞬間(t)之和：1=t+t+t......t。那麼t既不能為0，也不能為一個極小值，像是千分之一秒。否則加總到第1001個瞬間就超過1秒。
接著是瞬間速度的定義待解決：原有的平均速度定義為 ，而瞬間速度=位移除以瞬間，瞬間不能為一個極小值，導致"不夠瞬間"，瞬間也不能為0，公式變得無法計算。沒有瞬間速度，無從談起物體是動還是不動 。
以數學的角度來看，時間、平均速度、位移這些是離散數學的範疇，屬於可掌握可計算的領域；瞬間、瞬間速度等屬連續數學的結界，需要加強版的離散數學才得以衝破到達。這兩個問題，總和歷史上所有數學家之力，將近2000年才解決說明清楚。
讓我們先從無窮大開始下手，個別、有限的正整數是離散的範疇，如下
1、2、3、...、N
直觀上，可以認知正整數有無窮多個，這個過程可以一直持續下去
1、2、3、...、N、...
無窮大是一個抽象概念，並不是一個已知的數，否則和無限大+1，似乎無限大就不夠大了。數學家抓住了無限大的特性：比任何數都大。
1、2、3、...、N、... ； ；
左側的N 是我們認識無限大的一個途徑，但無限大的大小卻又不僅僅是 N，無限大可以比N大很多，於是左側數列的動態過程表示了無限大的抽象概念 。就好比祖靈是一個抽象概念，少數人聲稱可感知，多數人透過舉辦儀式可認知祖靈。
那瞬間如果不是0，那又是什麼呢？數學家抓住瞬間比任何時間都還小的性質，將正整數倒數：
1、、、...、、 0；；
我們可以透過左側 來瞭解、捕捉瞬間的概念，但瞬間又可以比任何時間都還小，於是以此數列來表示瞬間(無限小)的抽象概念。
那無限小或無窮大以外具體的數，也可以用數列表示嗎？3+1、3+、3+、...、3+、...理當趨近於3吧！也就是說任意一個數列若可以拆分成某數和無窮小數列，那數列的極限就是該數。
、、
牛頓擁有了極限這項工具，定義瞬間即短時間的極限，那瞬間速度，定義為短時間速度的極限，可否？具體而言，牛頓計算了1秒內、秒內、秒內的平均速度，並且尋找他們的極限： 、、 。還真的讓牛頓找到極限 v 。於是將平均速度的極限 v 定義為瞬間速度。
在牛頓那個年代，極限、微積分等領域才剛剛發展，理論尚有許多說不清的地方，像是所有平均速度都可以找到極限嗎? 極限的動態過程可以進行運算嗎？...等等。隨著細節的補上，數學界、科學界才承認這門學問，同時也是離散數學進入連續數學的里程碑。
讓我們回到芝諾的箭矢，我們該如何破解他的話術呢？首先是瞬間的定義，沒有人可以做到將時間暫停，意即現實世界的時間是不斷流動的，沒有時間t=0這回事。既然 t=0 不存在，那箭矢無時無刻都在動，瞬間速度作為抽象概念，必然要以具體的短時間速度來描述，才更合理。
